Niceleme(Yüklemler) Mantığı Konu Anlatımı

Niceleme(Yüklemler) Mantığı Konu Anlatımı

NİCLEME  MANTIĞI(YÜKLEMLER MANTIĞI)

Önermeler mantığı ,önermeleri sadece nitelik yönünde ele alır, oysa önermelerin nicelikleri de vardır.Önermeler mantığı  önermeleri nicelik yönünde ele almada yetersiz  kalır.

Niceleme mantığı , önermeler mantığının bu eksiğini ortadan kaldırır, önermelerin daha ayrıntılı sembolleştirmesini yapar.

İçinde niceleme sembolleri(niceleyiciler)tikel niceleyici”∃” sembolü  veya  tümel niceleyici  (her, Hiçbir)  “∀” sembolü bulunduran önermeleri inceleyen mantık bölümü  niceleme  (yüklemler)  mantığı olarak adlandırılır.

İçinde her “∀” ,bazı “∃”  gibi niceleyici bulunduran önermelere genel önerme denir.

İçinde niceleyici bulunmayan önermeler ise tekil önerme denir.

ÖRNEK:    ”Tüm canlılar beslenir”  bu önerme içinde “∀” sembolüne karşılık gelen “tüm” niceleyicisini bulundurduğu için genel bir önermedir.

ÖRNEK: Hiçbir insan taş değildir. Genel önermedir.

ÖRNEK: Bazı öğrenciler çalışkandır. bu önerme içinde “∃”  sembolüne karşılık gelen “bazı” niceleyicisini bulundurduğu için genel bir önermedir.

ÖRNEK: Adana Çukurova’dadır. Önermesinde  niceleyici sembolüne karşılık gelen (tüm,her,bazı, kimi,hiçbir gibi )niceleyici bulunmadığı için tekil önermedir.

ÖRNEK: Ecem öğrencidir. Önermesinde  niceleyici sembolüne karşılık gelen (tüm,her,bazı, kimi,hiçbir gibi )niceleyici bulunmadığı için tekil önermedir.

UYARI!! Bir önermenin genel önerme sayılması için içinde  “∀” ve “∃ ”  niceleyicilerini bulundurması gerekir.

                         NİCELEME MANTIĞINDA TEMEL TANIMLAR (KAVRAMLAR)

Niceleme mantığında önermeler nicelikleri  bakımından incelenirken bazı kavramların bilinmesi gerekir.

1-DEĞİŞKEN: Belirsiz olan özneyi belirten ve alacağı değerlere göre önermenin doğruluk değerini etkileyebilen bilinmeyen(belirsiz) sembollere  değişken denir. Bunlar   x,y,z  biçiminde gösterilir.

2-AÇIK ÖNERME: İçinde x,y,z, gibi değişkenleri barındıran önermelere açık önerme denir.

UYARI!! Açık önermeler bir doğruluk değerine sahip değildir.

ÖRNEK: x hareketlidir. Önermesinde x’in yerine “insan” terimini getirilirse doğru,x’in yerine”taş”terimi getirilirse yanlış değer alır.

Bir açık önermede tek bir değişken varsa birli, iki değişken varsa ikili, üç değişken varsa üçlü, n değişken varsa n’li  açık önerme denir.

ÖRNEK:  x canlıdır. İçinde sadece bir değişken olan x bulunduğu için birli açık önermeye örnektir.

X+2=5  Birli açık önermeye örnektir.

x,z’nin kardeşidir. Önermesinde iki bilinmeyen değişken olduğu için ikili açık önermeye örnektir.

x-y+2=8 ikili açık önermeye örnektir.

X,y ve z ders çalışıyorlar. Önermesinde üç değişken bulunduğundan üçlü açık önermeye örnektir.

X+y-z=9 üçlü açık önermeye örnektir.

3-KAPALI ÖNERME:  Bir doğruluk   değeri taşıyan,yani içinde  x,y,z, gibi bilinmeyenleri bulundurmayan önermelerdir.

ÖRNEK: Ecem Ceren’den daha büyüktür.  Önermesi   kapalı  önermedir.

“2+3-1=4”   önermesinin içinde bilinmeyen olmadığı için kapalı önermedir.

4-EVREN: Açık bir önermeyi ,bilinen(kapalı)bir önerme yapmak içinaçık önermedeki değişkenin yerine getirilebilecek tüm terimler kümesine evren denir

5- ÖZELLEME: Açık bir önermeyi ,önerme haline getirmek için , verilen evrendeki değerleri, değişkenin yerine koyma işlemine özelleme denir.Bu şekilde oluşan önermeye de özelleme önermesi denir.

6- GERÇEKLEME: Evrende bulunan değerlerin bir kısmı önermeyi doğrularken bir kısmı yanlışlar. Evrendeki bir değerin özelleme önermesini doğrulamasına gerçekleme denir.

ÖRNEK: 1

ÖRNEK:2

Niceleme mantığında tümel  önermeye örnek verecek olursak:

Niceleme mantığında tümel bir önermenin doğru olması için evrende bulunan bütün elemanlar tarafında doğrulanması gerekir.  Daha önce sembolik mantık‘ta öğrendiğimiz gibi tümel evetleme sembolü ile birleştirilen bileşenlerin sonucunun doğru olması için her iki bileşenin de doğru olmasına bağlıydı.  Örnek: p^q önermesi  p=D , q=D ise (D^D)=D  olur.

∀xBx (her x için x beslenir )   E:{insan,kuş,at} evrendeki değerleri “x” değişkeninin yerine koyalım.

UYARI!!  Niceleme mantığında tümel  ”∀” sembolünün  olduğu önermeler tümel evetleme sembolü olan  “^” ile birleştirilir.

İnsan beslenir  ^  kuş beslenir  ^  at beslenir

D             ^            D           ^          D      

 Sonuç=D

ÖRNEK:  ∀x(FxGx) önermesinin “E:{a,b,c} “ evrenindeki açılımını yapalım.

Burada F,G  Yüklem  a,b,c   ise öznedir , önermemiz ise  sembolünü içerdiği için tümel bir önermedir. Yani ana eklemimiz tümel evetleme eklemi olan  ”^” (ve)’dir.

-Öncelikle açılım yaparken önce birinci özne her iki yüklemin önüne yazılır ve parantez içine alınır, araya  “^” sembolü yazılır, diğer özneler için de sırasıyla aynı işlem yapılır.

Açılım şu şekilde yapılır: (Fa→Ga)^(Fb→Gb)^(Fc→Gc)

Niceleme mantığında tikel  önermeye örnek verecek olursak:

Niceleme mantığında tikel bir önermenin doğru olması için evrende bulunan en az bir eleman tarafında doğrulanması gerekir.  Daha önce sembolik mantık‘ta öğrendiğimiz gibi tikel evetleme sembolü ile birleştirilen bileşenlerin sonucunun doğru olması  en az bir  bileşenin  doğru olmasına bağlıydı.  Örnek: pVq önermesi  p=D , q=Y ise (DVY)=D  olur.

∃xBx (her x için x beslenir )   E:{insan,taş,at} evrendeki değerleri “x” değişkeninin yerine koyalım.

UYARI!!  Niceleme mantığında tikel  ” ∃ “ sembolünün  olduğu önermeler tikel evetleme sembolü olan  “V” ile birleştirilir.

İnsan beslenir  V   taş  beslenir  V  at beslenir

D             V           Y          V          D      

Sonuç=D

ÖRNEK:  ∃x(FxGx) önermesinin “E:{a,b,c} “ evrenindeki açılımını yapalım.

Burada F,G  Yüklem  a,b,c   ise öznedir , önermemiz ise  sembolünü içerdiği için tikel bir önermedir. Yani ana eklemimiz tikel evetleme eklemi olan  ”V” (veya)’dır.

-Öncelikle açılım yaparken önce birinci özne her iki yüklemin önüne yazılır ve parantez içine alınır, araya  “V” sembolü yazılır, diğer özneler için de sırasıyla aynı işlem yapılır.

Açılım şu şekilde yapılır: (Fa→Ga)V(Fb→Gb)V(Fc→Gc)

BASİT VE BİLEŞİK ÖNERME

1-Tekil Önermelerde:

BASİT ÖNERME: İçinde önerme eklemi bulunmayan önermeler basit önermelerdir.

Örneğin : Fab gibi

BİLEŞİK ÖNERME : İçinde önerme eklemi bulunan önermeler bileşik önermelerdir.

Örneğin : Fa V Ga gibi

2- Genel önermelerde:

BASİT ÖNERME: Tek niceleyici taşıyan önermelerdir

ÖRNEK:∀xFx

BİLEŞİK ÖNERME:En az bir niceleyici ve bir ana eklem bulunduran önermelerdir

ÖRNEK:∀xFx→Fa

NİCELEME MANTIĞINDA SEMBOLLEŞTİRME

1.Yol:  Bütün çocuklar güzeldir.∀xGx

2.Yol:  Bütün çocuklar güzeldir. Önermesinde çocuklara güzel anlamı yüklendiği için, “ Bütün çocuklar güzeldir.”  Önermesi ∀x(Çx→Gx)  biçiminde de sembolleştirilir.Burada  Ç :çocuklar ,

G: güzeldir kavramları için kullanılmıştır.

1.Yol: Bazı insanlar akıllı değildir. ∃x˜Ax

2.Yol: Bazı insanlar akıllı değildir.∃x ˜ (İx ^ Ax)

Özel değişmezler ve semboleştirme: Bunlar ad ve yüklemlerdir. Niceleme mantığında özne(ad) a,b,c,d,gibi küçük harflerle, yüklemler ise F,G,H gibi büyük harflerle gösterilir ve yüklem özneden önce yazılır.

ÖRNEK:     Ali akıllıdır.

      Ali                 akıllıdır

a(özne)        F(yüklem)

aF’dir  ancak  Fa olarak gösterilir.

ÖRNEK: Ecem ve Ceren güzeldir

Ecem         Ceren          gözeldir

a                 b                   F

Fab     şeklinde yazılır burada F hem a’nın hem b’nin yüklemi olduğu için ,iki ad’a ait yükleme ikili yüklem denir.Eğer üç ad’a ait ise üçlü yüklem denir.

ÖRNEK: Okula gelir ise yazılı olacak

Okula     gelir     ise      yazılı      olacak

a          F         →           b            G

Fa→Gb  şeklinde sembolleştirilir.

ÖRNEK: Araba bozuktur ya da yollar iyi değildir

Araba            bozuktur         ya da         yollar          iyi değildir

a                   F                 V               b                  ˜ G

       FaV˜Gb

NİCELEYİCİ DEĞİLLEME KURALLARI  

˜∀xFx  ≡ ∃x˜Fx

˜∃xFx  ≡∀x ˜Fx

˜∀x˜Fx ≡ ∃xFx

˜∃x˜Fx  ≡ ∀xFx

Anahtar Kelimeler: Niceleme(Yüklemler) Mantığı Konu Anlatımı ,ders notları moderm sembolik mantık niceleyicilerin değilleme kuralları,özelleme gerçekleme , açık önerme, kapalı önerme,değişken ,özelleme önermesi ,mantığında sembolleştirme

denklik,ikili, birli, üçlü,n’li yüklem,basit,bileşik,ara,bul,indir,bedava,download,lise , son sınıf,